मान लीजिए कि $f(x)$,$[0, 2]$ में लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है। यदि $f(0) = 0$ और सभी $x \in [0, 2]$ के लिए $|f'(x)| \leqslant \frac{1}{2}$ है,तो-

मान लीजिए कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x)=2+\cos x$ है।
$\text{कथन}-1$: प्रत्येक वास्तविक $t$ के लिए,$[t, t+\pi]$ में एक बिंदु $c$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime}(c)=0$ है। क्योंकि
$\text{कथन}-2$: प्रत्येक वास्तविक $t$ के लिए $f(t)=f(t+2\pi)$ है।

मान लीजिए कि $f(x)$ अंतराल $[1, 3]$ में दो बार अवकलनीय है और $f(1)=f(3)$ है। यदि $|f^{\prime \prime}(x)| \leq 2$ है,तो $[1, 3]$ में सभी $x$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि फलन $f(x) = x(x + 3) e^{-x/2}$ अंतराल $[-3, 0]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित फलनों पर विचार करें:
$I) f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}-x, & x < \frac{1}{2} \\ (\frac{1}{2}-x)^2, & x \geq \frac{1}{2} \end{cases}$
$II) f(x) = |3x-1|$
$III) f(x) = x|x|$
$IV) f(x) = |x|$
तो $[0, 1]$ पर लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ किन फलनों के लिए लागू होता है?

यदि $f(x) = \log(\sin x)$,$x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$ है,तो लैग्रेंज माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ लागू करने पर $c$ का मान ज्ञात कीजिए।